Question

【題目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的產(chǎn)值函數(shù)為 (單位:萬元),成本函數(shù)為(單位:萬元),又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)的邊際函數(shù)定義為.

(1)求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù).(提示:利潤=產(chǎn)值-成本)

(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?

(3)求邊際利潤函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么?

Answer 1

【答案】（1）且；（2）12；（3）且.

【解析】

（1）先根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本求P(x),再求邊際利潤函數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)求年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大.(3)利用二次函數(shù)求邊際利潤函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義.

(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5(x∈N+,且1≤x≤20);

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).

(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),

∵x>0,∴P'(x)=0時,x=12,

∴當(dāng)0<x<12時,P'(x)>0,

當(dāng)x>12時,P'(x)<0,∴x=12時,P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘時,可使公司造船的年利潤最大.

(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以,當(dāng)x≥1時,MP(x)是減函數(shù),

所以單調(diào)減區(qū)間為[1,19],且x∈N+.

MP(x)是減函數(shù)的實際意義是:隨著產(chǎn)量的增加,每艘船的利潤與前一艘船的利潤比較,利潤在減少.