Question

【題目】人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。

（1）開普勒堅信哥白尼的“日心說”，在研究了導師第谷在20余年中堅持對天體進行系統觀測得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運動問題提供了依據，也為牛頓發現萬有引力定律提供了基礎。開普勒認為：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量。實際上行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們按圓軌道處理。請你以地球繞太陽公轉為例，根據萬有引力定律和牛頓運動定律推導出此常量的表達式。

（2）已知引力常量為G，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度是g，請估算地球的質量M及第一宇宙速度v的大小。

（3）天文觀測發現，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運行的恒星組成的雙星系統很普遍。已知某雙星系統中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統的總質量。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）

【解析】

（1）設太陽質量為，地球質量為，地球繞太陽公轉的半徑為r，太陽對地球的引力是地球做勻速圓周運動的向心力，根據萬有引力定律和牛頓運動定律有

解得

太陽質量和萬有引力常量是一個定值，行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量

（2）設地面上的物體質量為m，根據

地球的質量

根據

解得第一宇宙速度v

（3）設雙星的質量分別為 、，軌道半徑分別為 、，根據萬有引力定律及牛頓運動定律有

且有

雙星總質量為