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7. 的展開式中常數項等于 ( )
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A.15 B.-15 C.20 D.-20
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8.平面內有兩個定點A、B,動點P滿足|AP|=2|PB|,則點P的軌跡是 ( )
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A.直線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
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9.已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+2)=- f(x),則f(9)的值為 ( )
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A.-1 B.0 C.1 D.2
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10.將4個不同顏色的小球全部放入不同標號的3個盒子中,可以有一個或者多個盒子空著
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的放法種數為 ( )
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A.96 B.36 C.64 D.81
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11.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱錐高為3,體積為6,則這個球的表面積是( )
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A.13π B.17π C.21π D.25π
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12.已知點A(2,2),P為雙曲線 上一動點,F為雙曲線的右焦點
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則|PA|+ |PF|的最小值為 ( )
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第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
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二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
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14.將直線l按向量a=(2,-1)平移后得到直線l′,再將直線l′按向量b=(-1,2)平移
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后又與直線l重合,則直線l的斜率為
。
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16.已知 ,則a、b、c的大小關系為
。
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三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)
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已知函數 
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(1)求函數 的單調增區間;
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(2)求函數 的最值及取得最值時x的值。
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18.(本小題滿分12分)
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在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,已知 
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(1)判斷△ABC的形狀;
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(2)若 ,求△ABC的面積。
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19.(本小題滿分12分)
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如圖,四棱錐P―ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點
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E、F分別為棱AB、PD的中點。
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(1)求證:AF∥平面PCE;
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(2)求二面角E―PD―C的大小;
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(3)求點A到平面PCE的距離。
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20.(本小題滿分12分)
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(1)求證:數列{bn}為等比數列;
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(2)求an及Sn;
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(3)設cn= Sn+nan,Tn為數列{cn}的前n項和,求證:Tn<1.
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21.(本小題滿分12分) 設f(x)=ax2+bx+c,若6a+2b+c=0,f(1)f(3)>0, (1)求證:a=1,求f(2)的值; (2)求證:方程f(x)=0必有兩個不等實根x1、x2,且3<x1+ x2<5。
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22.(本小題滿分12分) 已知直線l:y=x+b交曲線C:y=x2(a>0)于P、Q兩點,M為PQ中點,分別過P、 Q兩點作曲線C的切線,兩切線交于點N,當b變化時。
(1)求點M的軌跡方程;
(2)求點N的軌跡方程;
(3)求證:MN中點必在曲線C上。 數 學 參 考 答 案(文) 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)
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一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.A 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C 簡答與提示:
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1.∵ ,
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∴M N=(- ,1),故選B
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2.∵
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∴ ,故選C。
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3.取a=1,b=-2,可驗證A、B、C均不正確,故選D。
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4.垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,可能相交或異面,故選C。
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,故
選B。
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6.∵ ,故選A。
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7. 的展開式中常數項為第3項, 故選A。
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8.可建立平面直角坐標系求出軌跡方程,根據方程形式可判斷軌跡為圓,或由平面幾何中
相關定理可知軌跡是圓,故選D。
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9.由f(x+2)=- f(x)可得f(x+4)=- f(x+2)= f(x),所以函數f(x)為周期函數,最小
正周期為T=4,f(9)= f(1)=- f(-1),又函數f(x)為偶函數,所以f(1)= f(-1)=0,所以f(9)=0,故選B。
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11.由 ∴正四棱柱的體對角線l= ,
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∴ 故選A。
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12.根據雙曲線第二定義, (其中d表示點P到右準線的距離,)故選C。 第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
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二、填空題(每小題5分,共20分)
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簡答與提示:
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13.畫出可行域,如右圖所示,在點A(5,3)處取得
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14.設直線l方程為y=kx+b,按向量a=(2,-1)平移
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后得到 按向量b=(-1,2)平移后得直線方程為
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:y=k:y=k(x-2)+b-1再將 (x+1-2)+b-1+2=kx-k+b+1,
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15.∵
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16. ,∴a>b。
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三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17.解:本小題主要考查三角恒等變換及三角函數圖象和性質。
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(1)
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(4分)
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∴當
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即 時,函數 為增函數,
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∴增區間為 (6分)
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18.本小題主要考查正余弦定理的應用及三角恒等變換。
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解:(1)∵
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∴ ∴sinA=2cosBsinC, 又∵sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, ∴sinBcosC+
cosBsinC=2cosBsinC, ∴sinBcosC-
cosBsinC= sin(B-C)=0 ∴在△ABC中B=C, ∴△ABC為等腰三角形
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另解:∵ , ∴a2+c2-b2=a2, ∴c2=b2 ∴c=b ∴△ABC為等腰三角形
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(2)∵ ,
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∵ ,
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∴ ,
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∴ 。 (12分) 另解:b=3,∴c=b=3
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又∵
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∴
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∴
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19.本小題主要考查空間線面關系,空間想象能力和推理運算能力或空間向量的應用。 解法一: (1)證明:
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取PC的中點G,連接FG、EG,
∴FG為△PCD且FG∥CD,
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∴FG= CD且FG∥CD, 又∵底面四邊形ABCD是正方形,E為棱AB的中點,
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∴AE= CD且AE∥CD, ∴AE=FG且AE∥FG, ∴四邊形AEGF是平行四邊形, ∴AF∥EG,
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又EG 平面PCE,AF 平面PCE, (4分) ∴AF∥平面PCE。 (2)∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AD,PA⊥CD,
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又AD⊥CD,PA AD=A, ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AF
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又PA=2, PDA=45°, ∴PA=AD=2, ∵F是PD的中點,∴AF⊥PD,
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又CD PD=D, ∴AF⊥平面PCD, ∵AF∥EG, ∴EG⊥平面PCD, 又GF⊥PD,連結EF,
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則 GFE是二面角E―PD―C的平面角。 (6分)
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在Rt△EGF中,EG=AF= ,GF=1,
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∴tan GFE=
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∴二面角E―PD―C的大小為arctan 。 (8分) (3)設A到平面PCE的距離為h,
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由
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∴點A到平面PCE的距離為 解法二: (1)由于PA⊥底面ABCD,且底面四邊形ABCD是正方形,以A為坐標原點建立空間 直角坐標系如圖,
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∵PA=2,, PDA=45°,∴AD=AB=PA=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) ∵點E、F分別為棱AB、PD的中點, ∴E(1,0,0),F(0,1,1),取 PC的中點G,連結EG,則G(1,1,1),
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∴ (0,1,1), =(0,1,1), ∴AF∥EG,
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又∵EG 平面PCE,AF PCE, ∴AF∥平面PCE。 (4分)
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(2)設平面PDE的法向量為
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∵
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∴
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設平面PCD的法向量為
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∵
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∴ (6分)
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∴
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∴二面角E―PD―C的大小為arccos 。 (8分)
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(3)設平面PCE的法向量
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∵
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∴ (10分)
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∵ ,∴點A到平面PCE的距離 (12分)
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20.本小題主要考查利用遞推關系求通項公式的方法錯位相減法求和。
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(1)∵
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∴ (2分)
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∴
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又由 得
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∴{bn}是以 為首項,以 為公比的等比數列。 (5分)
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(2)由(1)知數列{bn}是以 為首項,以 為公比的等比數列,
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∴
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∴ 。 (8分)
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(3)
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∴ (12分)
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21.本小題主要考查二次函數圖象及性質,二次函數、二次方程、二次不等式的關系。 解:(1)∵6a+2b+c=0,a=1
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∴f(2)=4a+2b+c=-2a=-2. (4分)
(2)首先說明a≠0, ∵f(1)f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)=―(5a+b)(3a+b)>0, 若a=0,則f(1)f(3)=-b2<0與已知矛盾, ∴a≠0, (6分) 其次說明二次方程f(x)=0必有兩個不等實根,x1、x2, ∵f(2)=4a+2b+c=-2a ∴若a>0,二次函數f(x)=ax2+bx+c開口向上,而此時f(2)<0 ∴若a<0,二次函數f(x)=ax2+bx+c開口向下,而此時f(2)>0 故二次函數圖象必于x軸有兩個不同交點, ∴二次方程f(x)=0必有兩個不等實根,x1、x2,
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(或利用△ 來說 明) (9分) ∵a≠0, ∴將不等式-(5a+b)(3a+b)兩邊同除以-a2得
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∴
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∴ (12分)
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22.本小題主要考查直線與拋物線位置關系及弦中點問題,軌跡的求法。
(1)設P(x1,y1),Q(x2,y2)
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由
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∴ (2分)
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∴
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∴
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∴點M的軌跡方程為直線 部分 (4分)
(2)設以點P(x1,y1)為切點的曲線C的切線方程l1:y-y1= k1(x-x1) 將l1方程代入曲線C:y=x2并整理得 x2-
k1x-y1+k1x1=0,
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△= ∴k1=2x1,(也可利用導數直接得出此結論)。 (6分) ∴直線l1方程可化為y=2x1x-x12 ① 同理,以Q為切點的切線l2方程可化為y=2x2x-x22 ②,
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由①②可解出交點N坐標, =
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∴點N的軌跡方程為直線 (10分)
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(3)由(1)知點M的坐標為 由(2)知道點N坐標為 ,
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∴MN中點坐標為 ,滿足曲線C的方程, ∴MN中點必在曲線C上。 (12分)
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