Question

閱讀下列材料：
問題：在平面直角坐標系中，一張矩形紙片OBCD按圖1所示放置。已知OB=10，BC=6，
將這張紙片折疊，使點O落在邊CD上，記作點A，折痕與邊OD（含端點）交于點E，與邊OB（含端點）或其延長線交于點F，求點A的坐標.
小明在解決這個問題時發現：要求點A的坐標，只要求出線段AD的長即可，連接OA，設折痕EF所在直線對應的函數表達式為：，于是有，所以在Rt△EOF中，得到，在Rt△AOD中，利用等角的三角函數值相等，就可以求出線段DA的長（如圖1）

請回答：
（1）如圖1，若點E的坐標為，直接寫出點A的坐標；
（2）在圖2中，已知點O落在邊CD上的點A處，請畫出折痕所在的直線EF（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；
參考小明的做法，解決以下問題：
（3）將矩形沿直線折疊，求點A的坐標；
（4）將矩形沿直線折疊，點F在邊OB上（含端點），直接寫出的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）作圖見解析；（3）（3，6）；（4）.

試題分析：（1）根據矩形和折疊的性質以及勾股定理求解即可.
（2）作AD的垂直平分線交OD于點E，交OB于點F，連接EF，EF即為所求.
（3）過點F作FG⊥DC于點G，通過證明△AEF≌△OEF和△DAE∽△GFAF，根據全等三角形和相似三角形的性質求解.
（4）由于題意中，與k有關的是tan∠AOD，即與Rt△AOD有關，所以我們求解k的取值范圍可以轉化為求DA的長度的范圍.
試題解析：（1）∵根據矩形和折疊的性質，AE=OE=4，DE=2，
∴根據勾股定理，得.
∴.
（2）作圖如下：

（3）如圖，過點F作FG⊥DC于點G，
∵EF的解析式為，
∴.∴OE=n，OF=2n.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=2n.
∵點A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=3.
∴點A的坐標為（3，6）.

（4）如圖，過點F作FG⊥DC于點G，
∵EF的解析式為，
∴.∴OE=n，OF=.
∵△AEF≌△OEF，∴AE=OE=n，AF=OF=.
∵點A在DC上，且∠EAF=90⁰，∴∠1+∠2=90⁰.
又∵∠2+∠3==90⁰，∴∠1=∠2.
∴△DAE∽△GFAF.∴.
又∵FG=CB=6，∴.∴DA=.
當DA最小時，點F與點B重合，此時AF=OB=10，BC=6，得AC=8，DA=2，即；
當DA最大時，DA=OD=6，即.
∴.