Question

【題目】如圖,已知,,,點是射線上的一個動點(點與點不重合),點是線段上的一個動點(點與點不重合),連接,過點作的垂線，交射線于點連接.設

(1)當時，求關于的函數關系式，并寫出它的定義域；

(2)在(1)的條件下，取線段的中點,連接,若,求的長；

(3)如果動點在運動時,始終滿足條件那么請探究：的周長是否隨著動點的運動而發生變化?請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的周長不變，理由見解析

【解析】

（1）由△AED∽△BCE，得出其對應邊成比例，進而可得出x與y的關系式；
（2）可過D點作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，進而可求解x的值；
（3）△BCE的周長為一定值，由于題中滿足條件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周長比即為其對應邊的比，所以可得其周長不變．

(1)由題中條件可得△AED∽△BCE，

∴，

∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1

∴BE=4x，

∴，

∴；

(2)∵DE⊥EC，

∴∠DEC=90°，

又∵DF=FC，

∴DC=2EF=2×2.5=5，

如圖所示，過D點作DH⊥BN于H，則DH=AB=4，

∴Rt△DHC中, ，

∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，

∴

解得：，

∴AE=2；

(3)△BCE的周長不變. 理由如下：

，BE=4x，

設AD=m，則DE=4m，

∵∠A=90，

∴DE2=AE2+AD2即,(4m)2=x2+m2

∴，

由(1)知：△AED∽△BCE，

∴

∴

∴△BCE的周長不變.