Question

已知函數g（x）=alnx-x²+ax（a＞0），若y=g（x）在區間（0，2）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：導數的綜合應用

分析：求g′（x）=

-2x2+ax+a

x

，所以根據題意知g′（x）在（0，2）上的符號有正有負，結合二次函數圖象即可求得a的取值范圍．

解答： 解：g′（x）=

a

x

-2x+a=

-2x2+ax+a

x

；
∵g（x）在（0，2）上不單調；
若設f（x）=-2x²+ax+a，則f（x）在（0，2）上有正有負；
∴f（0）f（2）=a（-8+3a）＜0，或

f(0)=a＜0 f(2)=-8+3a＜0 0＜ a 4 ＜2 -8-a2 -8 ＞0

；
解得0＜a＜

8

3

；
∴a的取值范圍為（0，

8

3

）．

點評：考查函數在一區間上不單調時該函數的導數的符號的情況，可結合二次函數圖象找限制a的不等式．