Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=-3，cosB=-

3

7

，b=2

14

．求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）sin（A-B）的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由向量的數量積的定義和余弦定理，解方程即可得到a，c；
（Ⅱ）運用余弦定理求出cosA，再由同角的平方關系和兩角差的正弦公式計算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由

BA

•

BC

=-3，cosB=-

3

7

，
則

BA

•

BC

=cacosB=-3，即有ac=7，
由b=2

14

，則b²=a²+c²-2accosB=56，
則有a²+c²=50，
由a＞c，解得，a=7，c=1；
（Ⅱ）cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

1+56-49

2×1×2 14

=

14

7

，
sinA=

1- 14 49

=

35

7

，
又cosB=-

3

7

，則sinB=

1- 9 49

=

40

7

．
則sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

35

7

×(-

3

7

)-

14

7

×

40

7

=-

35

7

．

點評：本題考查向量的數量積的定義，考查余弦定理和同角的平方關系及兩角差的正弦公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．