Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₂=6，3S_n=（n+1）a_n+n（n+1）．
（1）求a₁，a₃；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）分別令n=1，n=3，建立方程即可求a₁，a₃；
（2）由數列的遞推關系，構建方程組，即可求數列{a_n}的通項公式；

解答： 解 （1）令n=1得3a₁=2a₁+2，解得a₁=2；
令n=3得3（8+a₃）=4a₂+12，解得a₃=12．
（2）由已知3S_n=（n+1）a_n+n（n+1），①
3S_n+1=（n+2）a_n+1+（n+1）（n+2），②
②-①得3a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1），
即（n-1）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1）=0，③
所以na_n+2-（n+2）a_n+1+2（n+2）=0，④
④-③得na_n+2-（2n+1）a_n+1+（n+1）a_n+2=0，
即n（a_n+2-a_n+1）-（n+1）（a_n+1-a_n）+2=0，⑤
從而（n+1）（a_n+3-a_n+2）-（n+2）（a_n+2-a_n+1）+2=0，⑥
⑥-⑤得（n+1）（a_n+3-a_n+2）-2（n+1）（a_n+2-a_n+1）+（n+1）（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-2（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-（a_n+2-a_n+1）=（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n），⑦
所以數列{a_n+1-a_n}是等差數列，首項為a₂-a₁=4，公差為（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2，
所以a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
即a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…a₃-a₂=6，a₂-a₁=4，a₁=2，
相加得a_n=2+4+6+…+2（n-1）+2n=n（n+1）．

點評：本題主要考查數列通項公式，運算量較大，綜合性較強，考查學生的計算能力．