Question

如圖，圓O為三棱錐P-ABC的底面ABC的外接圓，AC是圓O的直徑，PA⊥BC，點M是線段PA的中點．
（1）求證：BC⊥PB；
（2）設PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱錐P-MBC的體積；
（3）在△ABC內是否存在點N，使得MN∥平面PBC？請證明你的結論．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能證明BC⊥PB．
（2）由已知得BC=

3

，S_△ABC=

3

2

，PA⊥平面ABC，由此能求出三棱錐P-MBC的體積．
（3）取AB的中點D，連結OD、MD、OM，則N為線段OD（除端點O，D外）任意一點即可使得MN∥平面PBC．由已知得MD∥PB，MO∥PC，從而平面MDO∥平面PBC，由此能證明MN∥平面PBC．

解答： （1）證明：如圖，∵AC是圓O的直徑，∴BC⊥AB，
∵BC⊥PA，又PA、AB?平面PAB，且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BC⊥PB．
（2）解：如圖，在Rt△ABC中，AC=2，AB=1，
∴BC=

3

，∴S_△ABC=

3

2

，
∵PA⊥BC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，
∴V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC
=

1

3

×

3

2

×2-

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．
（3）解：如圖，取AB的中點D，連結OD、MD、OM，
則N為線段OD（除端點O，D外）任意一點即可使得MN∥平面PBC．
理由如下：
∵M、O、D分別是PA、AC、AB的中點，
∴MD∥PB，MO∥PC，
∵MD?平面PBC，PB?平面PBC，∴MD∥平面PBC，
同理，得MO∥平面PBC，
∵MD、MO?平面MDO，MD∩MO=M，
∴平面MDO∥平面PBC，
∵MN?平面MDO，∴MN∥平面PBC．

點評：本題考查異面直線竽的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查在△ABC內是否存在點N，使得MN∥平面PBC的判斷與證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．