Question

時下，租車已成為新一代的流行詞，租車自駕游也慢慢流行起來．已知甲、乙兩人租車自駕到黃山游玩，某小車租車點的收費標準是：不超過兩天按照300元計算；超過兩天的部分每天收費標準為100元（不足一天部分按1天計算）．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車自駕游（各租一車一次），設甲、乙不超過兩天還車的概率分別為

1

3

，

1

2

；2天以上且不超過3天還車的概率分別為

1

2

，

1

3

；兩人租車時間都不會超過4天．
（I）求甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率；
（II）設甲、乙兩人所付租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數學期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由甲所付租車費用大于乙所付租車費用，知甲租車3天，乙租車2天或甲租車4天，乙租車2天或3天，由此能求出甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率．
（2）由已知得ξ可能取值為600，700，800，900，1000，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列與數學期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲所付租車費用大于乙所付租車費用，
∴甲租車3天，乙租車2天或甲租車4天，乙租車2天或3天，
∵甲、乙不超過兩天還車的概率分別為

1

3

，

1

2

，
2天以上且不超過3天還車的概率分別為

1

2

，

1

3

，兩人租車時間都不會超過4天，
∴甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率：
P=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

-

1

3

)(

1

2

+

1

3

)=

7

18

．
（2）由已知得ξ可能取值為600，700，800，900，1000，
P（ξ=600）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=700）=

1

3

×

1

3

+

1

2

×

1

2

=

13

36

，
P（ξ=800）=

1

3

(1-

1

2

-

1

3

)+

1

2

(1-

1

3

-

1

2

)+

1

2

×

1

3

=

11

36

，
P（ξ=1000）=（1-

1

2

-

1

3

）（1-

1

2

-

1

3

）=

1

36

，
P（ξ=900）=1-

1

6

-

13

36

-

1

6

-

1

36

=

5

36

，
∴ξ的分布列為：

ξ	600	700	800	900	1000
P	1 6	13 36	11 36	5 36	1 36

Eξ=600×

1

6

+700×

13

36

+800×

11

36

+900×

5

36

+1000×

1

6

=750．

點評：本題主要考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，考查數據處理能力．