Question

某奇石廠為適應市場需求，投入98萬元引進我國先進設備，并馬上投入生產．第一年需各種費用12萬元，從第二年開始，每年所需費用會比上一年增加4萬元．而每年因引入該設備可獲得年利潤為50萬元．請你根據以上數據，解決以下問題：
（1）引進該設備多少年后，該廠開始盈利？
（2）引進該設備若干年后，該廠提出兩種處理方案：
第一種：年平均利潤達到最大值時，以26萬元的價格賣出．
第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出．問哪種方案較為合算？

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據利潤等于收入-成本，可求利潤函數，令其大于0，可得結論；
（2）分別求出兩種處理方案的利潤，再進行比較，即可得到結論．

解答： 解：（1）設引進該設備x年后，該廠盈利y萬元，
則y=50x-98-[12x+

x(x-1)

2

×4]=-2x²+40x-98，
令y＞0可得10-

51

＜x＜10+

51

，
∵x是自然數，∴x=3時，該廠開始盈利；
（2）第一種：年平均利潤為

y

x

=-2x-

98

x

+40≤-2

2x• 98 x

+40=12，
當且僅當2x=

98

x

，即x=7時，年平均利潤最大，共盈利12×7+26=110萬元；
第二種：盈利總額y=-2（x-10）²+102，當x=10時，取得最大值102，
即經過10年盈利總額最大，共盈利102+8=110萬元．
兩種方案獲利相等，但由于方案二時間長，故采用第一種方案．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．