Question

已知實數a，b，c滿足a²+b²=c²，c≠0，則

b

a-2c

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：實數a，b，c滿足a²+b²=c²，c≠0，化為(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k=

b

a-2c

=

b c

a c -2

=

sinθ

cosθ-2

，表示點P（2，0）與圓x²+y²=1上的點連線的在的斜率．利用直線與圓的位置關系即可得出．

解答： 解：∵實數a，b，c滿足a²+b²=c²，c≠0，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴k=

b

a-2c

=

b c

a c -2

=

sinθ

cosθ-2

，表示點P（2，0）與圓x²+y²=1上的點連線的直線的斜率．
設直線l：y=k（x-2），
則

|-2k|

1+k2

≤1，
化為k2≤

1

3

，
解得-

3

3

≤k≤

3

3

．
∴

b

a-2c

的取值范圍為[-

3

3

，

3

3

]．
故答案為：[-

3

3

，

3

3

]．

點評：本題考查了三角函數換元法、直線的斜率計算公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．