Question

已知函數f（x）=x+xlnx．
（1）求函數f（x）的圖象在點P（1，1）處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）若不等式f（x）≥-x²+（a+1）x-6在（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，將x=1代入求出斜率k，從而求出切線方程；
（2）令導函數大于0，解不等式從而求出函數的遞增區間；
（3）問題轉化為a≤x+lnx+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，設g(x)=x+lnx+

6

x

，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=2+lnx，
切線的斜率k=f′（1）=2，
則切線方程為y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0； 
（2）由f′（x）＞0，2+lnx＞0，有x＞

1

e2

，
故函數f（x）的單調遞增區間為(

1

e2

，+∞)；
（3）由f（x）≥-x²+（a+1）x-6在（0，+∞）上恒成立，
即xlnx≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
亦即a≤x+lnx+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，
設g(x)=x+lnx+

6

x

，
g′(x)=1+

1

x

-

6

x2

=

x2+x-6

x2

=

(x-2)(x+3)

x2

，
當x＞2時，g′（x）＞0，g（x）是增函數，
當0＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）是減函數，
則g（x）的最小值為g（2）=5+ln2，則a≤5+ln2，
故實數a的取值范圍是（-∞，5+ln2]．

點評：本題考查了求函數的切線方程問題，求函數的單調區間問題，考查了導數的應用，不等式恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．