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15．（本小題滿分13分）

在中，角的對邊分別為，且，，（I）求角的大小;   （II）求的面積.

16．（本小題12分）

某次演唱比賽，需要加試綜合素質測試，每位參賽選手需回答三個問題，組委會為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術類題目，2道文學類題目，2道體育類題目。測試時，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．

（I）求某選手在三次抽取中，只有第一次抽到的是藝術類題目的概率；

（II）求某選手抽到2道體育類題目的概率.

17．（本小題14分）

如圖，直三棱柱中，，，D為棱 的中點．

（I）證明：；

（II）求異面直線與所成角的余弦值；

（III）求平面所成二面角的正切值

（僅考慮銳角情況）．

18．（本小題滿分13分）

已知：函數

（I）若函數的圖像上存在點，使點處的切線與軸平行，求實數 的關系式；

（II）若函數在和時取得極值且圖像與軸有且只有3個交點，求實數的取值范圍.

19.（本小題滿分14分）

已知圓C:

（1）若圓C的切線在軸和軸上的截距相等，求此切線的方程；

（2）從圓C外一點向該圓引一條切線，切點為為坐標原點，且有求使得取得最小值的點的坐標.

20．（本小題滿分14分）

已知數列時，.

  （Ⅰ）求；

  （Ⅱ）求證：；

  （Ⅲ）求證：僅存在兩個正整數，使得.

2008―2009學年度東城區高中示范校高三質量檢測（二）

數學答案（文）

1．B   2．A   3．A   4 .B   5．  6．A   7．A   8．B

9.-4     10.         11.2        12.270        13.         14.

15．（本小題13分）

解：①             --------------------------        4分

                    --------------------------    6分

                                     --------------------------- 7分

②             ----------------------------  9分

                     -------------------------        11 分    

             --------------------------  13分

16．（本小題12分）

解：（1）從10道不同的題目中不放回的隨機抽取三次，每次只抽取1道題，抽法總數為，只有第一次抽到藝術類題目的抽法總數為

…………………………………………………………………（4分）

（2）抽到體育類題目數的可能取值為0，1，2

則

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列為：……………………………………………………………………（10分）

0

1

2

P

從而有…………………………………………（12分）

17．（本小題14分）

（I）證：都為等腰直角三角形

，即…………………………………………… （2分）

又

………………………………………………………… （4分）

（II）解：連交于E點，取AD中點F，連EF、CF，則

是異面直線與所成的角（或補角）………………… （5分）

，，

在中，………………… （8分）

則異面直線與所成角的大小為…………………… （9分）

（III）解：延長與AB延長線交于G點，連接CG

過A作,連，

，（三垂線定理）

則的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，…………………… （13分）

，

即所求的二面角的大小為……………………………………… （14分）

（18）（本小題共13分）

已知：函數

（I）若函數的圖像上存在點，使點處的切線與軸平行，求實數的關系式；

（II）若函數在和時取得極值且圖像與軸有且只有3個交點，求實數的取值范圍.

解：（I）設切點

, ------------------------（2分）

,

因為存在極值點，所以，即-------（4分）

（II）因為，是方程的根，

所以，.----------------------(6分)

,

；------------（8分）

在處取得極大值，在處取得極小值.--------（10分）

函數圖像與軸有3個交點，，

-----------------------------------------（13分）

19．（本小題14分）

解：（1）當截距為0時，設切線方程為

   又若圓C:圓心，半徑為

     即                     ---------------------------------- 3分

當截距不為0時，設切線方程為

則

或                     ---------------------------------  6分

切線的方程為---7分

（2）

動點的軌跡是直線         ------------------------ 10分

的最小值就是的最小值，而的最小值為點到直線的距離       ---------------------------11分

解得           -------------------------- 13分

所求點                       ----------------------------   14分

20．（本小題滿分14分）

   （I）解：b₅=1×2×3×4×5－1²－2²－3²－4²－5²=65.…………………………4分

   （II）證明：

                   =

                   =

                   .…………………………………………9分

   （III）解：易算出b₁=0，b₂≠0,b₃≠0, b₄≠0,…………………………………………11分

         當n≥5時，b_n+1=b_n－1，這表明{b_n}從第5項開始，構成一個以b₅=65為首項，公差為－1的等差數列.

          由b_m=b₅+(m－5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

          因此，滿足a₁a₂…a_m=的正整數只有兩個；

          m=70或m=1.……………………………………………………………………14分