上海市2009年高三十校聯考模擬考試數學（理科）試卷
一. 填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分．
1.
若
，則
_____________．
2.
若復數
滿足
（
是虛數單位），則
__________．
3.
已知
，
，則
____________．
4.
由
，
，
，
，
，
六個數字組成無重復數字且數字，相鄰的四位數共_______個（結果用數字表示）．
5.
函數
的單調遞增區間是______________________．
6.
科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設
為地震時所散發出來的相對能量強度，則里氏震級量度
可定義為
．2008年5月12日，四川汶川發生的地震是
級，而1976年唐山地震的震級為
級，那么汶川地震所散發的相對能量是唐山地震所散發的相對能量的_____________倍．（精確到個位）
7.
在一個水平放置的底面半徑為
cm的圓柱形量杯中裝有適量的水，現放入一個半徑為
cm的實心鐵球，球完全浸沒于水中且無水溢出，若水面高度恰好上升cm，則
________cm．
8.
已知平面上直線
的方向向量
，點
和
在上的射影分別是
和
，則
________________．
9.
已知函數
的值域是
，則實數
的取值范圍是________________．
10.
有一道解三角形的問題，缺少一個條件．具體如下：“在
中，已知
，
，____________，求角
的大小．”經推斷缺少的條件為三角形一邊的長度，且答案提示
，試將所缺的條件補充完整．
11.
如圖，設是棱長為
的正方體的一個頂點，過從此頂點出發的三條棱的中點作截面，
對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論：①有
個頂點；②有
條棱；③有個面；④表面積為
；⑤體積為
．其中正確的結論是____________．（要求填上所有正確結論的序號）
12.
在解決問題：“證明數集
沒有最小數”時，可用反證法證明．
假設
是中的最小數，則取
，可得：
，與假設中“是中的最小數”矛盾！
那么對于問題：“證明數集
沒有最大數”，也可以用反證法證明．我們可以假設
是
中的最大數，則可以找到
____________（用
，
表示），由此可知
，
，這與假設矛盾！所以數集沒有最大數．
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑，選對得 4分，否則一律得零分.
13.
圓
與圓
的位置關系是
( )
(A) 相交 (B) 相離 (C) 內切 (D) 外切
14.
已知無窮等比數列
的前
項和為
，各項的和為
，且
，則其首項
的取值范圍是
( )
(A)
(B)
(C) 
(D)
15.
在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為整點，如果函數
的圖像上有且僅有
個整點，則稱函數為階整點函數．有下列函數：
①
； ②
； ③
； ④
，
其中是一階整點函數的個數為 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
16.
已知正方形
的面積為
，
平行于
軸，頂點
、
和
分別在函數
、
和
（其中
）的圖像上，則實數
的值為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟.
17. (本題滿分12分)
已知函數
，
有反函數，且函數
的最大值為
，求實數
的值.
18. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，已知四棱錐
的底面是邊長為的正方形，
底面，且
．
（1） 若點
、
分別在棱
、
上，且
，
，求證：
平面
；
（2） 若點
在線段
上，且三棱錐
的體積為
，試求線段
的長．
19. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
已知數列
滿足
，且對任意
，都有
．
（1） 求證：數列
為等差數列；
（2） 試問數列中任意連續兩項的乘積
是否仍是中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．
20. (本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分.
定義區間
，
，
，
的長度均為
，其中
．
（1）
若關于的不等式
的解集構成的區間的長度為，求實數的值；
（2）
已知關于的不等式
，
的解集構成的各區間的長度和超過
，求實數
的取值范圍；
（3）
已知關于的不等式組
的解集構成的各區間長度和為
，求實數的取值范圍．
21. (本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
已知等軸雙曲線的兩個焦點
、
在直線
上，線段
的中點是坐標原點，且雙曲線經過點
．
（1） 若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線的方程：①
；②
；③
．請確定哪個是等軸雙曲線的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2） 
現要在等軸雙曲線上選一處
建一座碼頭，向
、
兩地轉運貨物．經測算，從到、從到修建公路的費用都是每單位長度萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3） 如圖，函數
的圖像也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）
理科答案
說明
1. 本解答列出試題的一種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.
2. 評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
3. 第17題至第21題中右端所注的分數，表示考生正確做到這一步應得的該題累加分數.
4. 給分或扣分均以1分為單位.
答案及評分標準
一、（第1至12題）每題正確的給5分，否則一律得零分.
1.
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
.
6. .
7. 
.
8. .
9.
.
10. 
.
11. ①②⑤
12.答案不惟一，
，
，…….
題 號
13
14
15
16
代 號
C
B
B
C
三、（第17至21題）
17.【解】 因為函數有反函數，所以在定義域內是一一對應的
函數的對稱軸為
，所以
或
…… 3分
若，在區間
上函數是單調遞增的，所以
，解得
，符合
…… 7分
若，在區間上函數是單調遞減的，所以
，解得
，與矛盾，舍去
…… 11分
綜上所述，滿足題意的實數的值為
……12分
18.【解】（1）以點
為坐標原點，
為軸正方向，
為
軸正方向建立空間直角坐標系．
…… 1分
則
，
，
，
，
，
因為，，所以
，
，
…… 3分
則
，
，
．
…… 5分
，
，即
垂直于平面中兩條相交直線，所以平面．
…… 7分
（2）
，可設
，
所以向量
的坐標為
，
…… 8分
平面的法向量為．
點到平面
的距離
．
…… 10分
中，
，
，
，所以
． …… 12分
三棱錐的體積
，所以
． …… 13分
此時向量的坐標為
，
，即線段的長為
． …… 14分
19.【解】（1）由及可知數列的每一項都是正的． …… 1分
，即
，
…… 3分
所以
，
…… 4分
所以數列是以
為首項，公差為的等差數列．
……6分
（2）由（1）可得數列的通項公式為
，所以
． …… 8分
．
…… 10分
因為
，
…… 11分
當
時，
一定是正整數，所以
是正整數．
…… 13分
所以
是數列中的項，是第項．
…… 14分
20.【解】（1）
時不合題意；
…… 1分
時，方程
的兩根設為
、
，則
，
，由題意知
，
…… 2分
解得
或
（舍），
…… 3分
所以．
…… 4分
（2）因為
，
…… 5分
設
，原不等式等價于“
，”，…… 6分
因為函數的最小正周期為
，
的長度恰為函數的一個正周期，
所以當
時，，的解集構成的各區間的長度和超過，即的取值范圍為
．
…… 9分
（3）先解不等式
，整理得
，即
所以不等式的解集
…… 10分
設不等式
的解集為，不等式組的解集為
不等式
等價于
…… 11分
所以
，
，不等式組的解集的各區間長度和為，所以不等式組
，當
時，恒成立
…… 12分
當時，不等式
恒成立，得
…… 13分
當時，不等式
恒成立，即
恒成立 …… 14分
當時，
的取值范圍為
，所以實數
…… 15分
綜上所述，的取值范圍為
…… 16分
21.【解】（1）雙曲線的焦點在軸上，所以①不是雙曲線的方程……1分
雙曲線不經過點，所以②不是雙曲線的方程
…… 2分
所以③是等軸雙曲線的方程
…… 3分
等軸雙曲線的焦點、在直線上，所以雙曲線的頂點也在直線上，
…… 4分
聯立方程
，解得雙曲線的兩頂點坐標為
，
，所以雙曲線的實軸長為
…… 5分
（2） 所求問題即為：在雙曲線求一點，使
最�。�
首先，點應該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上 …… 6分
等軸雙曲線的的長軸長為，所以其焦距為
又因為雙曲線的兩個焦點、在直線上，線段的中點是原點，所以是的一個焦點，
…… 7分
設雙曲線的另一個焦點為
，由雙曲線的定義知：
所以
，要求的最小值，只需求
的最小值
…… 8分
直線
的方程為
，所以直線與雙曲線在第一象限的交點為
…… 9分
所以碼頭應在建點處，才能使修建兩條公路的總費用最低 …… 10分
（3）①
，此雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是原點
；
…… 1分
② 漸近線是
和
．當
時，當無限增大時，
無限趨近于
，與無限趨近；當無限增大時，無限趨近于． …… 2分
③ 雙曲線的對稱軸是
和
．
…… 3分
④ 雙曲線的頂點為
，
，實軸在直線上，實軸長為
…… 4分
⑤虛軸在直線，虛軸長為
…… 5分
⑥焦點坐標為
，
，焦距
…… 6分
說明：（i）若考生能把上述六條雙曲線的性質都寫出，建議此小題給滿分8分
（ii）若考生未能寫全上述六條雙曲線的性質，但是給出了的一些函數性質（諸如單調性、最值），那么這些函數性質部分最多給1分
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