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20.(本題滿分16分)

已知等差數列的公差是，是該數列的前項和.

(1)試用表示，其中均為正整數；

(2)利用(1)的結論求解：“已知，求”；

(3)若各項均為正數的等比數列的公比為，前項和為，試類比問題(1)的結論，寫出一個相應的結論且給出證明，并利用此結論求解問題：“已知各項均為正數的等比數列，其中，求數列的前50項和.”

2011屆高三暑假自主學習調查

數　 學　　　　 　2010.9

附加題

19.(本題滿分16分)

已知函數，.

(1)若函數存在單調遞減區間，求的取值范圍；

(2)令，是否存在實數，當時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

18.(本小題滿分15分)

某企業有兩個生產車間分別在A，B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意兩點間的距離均有1km，設∠BDC＝α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．

(1)寫出S關于α的函數表達式，并指出α的取值范圍；

(2)問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？

17.(本題滿分15分)

已知橢圓的離心率為，一條準線為，若橢圓與軸交于兩點，是橢圓上異于的任意一點，直線交直線于點，直線交直線于點，記直線的斜率分別為.

　 (1)求橢圓的方程；

(2)求的值；

(3)求證：以為直徑的圓過軸上的定點，并求出定點的坐標.

16.(本題滿分14分)

在四棱錐中，底面是菱形，為正三角形，為側棱上一點.

(1)當為側棱的中點時，求證：平面；

(2)求證：平面平面.

15.(本題滿分14分)

已知向量，向量，且，與的夾角為.

(1)求；

(2)若向量，且，求實數的值.

14.設函數的定義域為，若存在非零實數，使得對于任意，有，且，則稱為上的高調函數，如果定義域是的函數為上的高調函數，那么實數的取值范圍是　 ▲　 ．

13.如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點，交其準線于點，若，且，則此拋物線的方程為　 ▲　 ．

12.在數列中，，則　 ▲　 ．

11.函數在定義域內可導，若，且當時，則，，的大小關系是(要求用“”連結)　 ▲　 ．