7．求證：當
且
時，
．
6．求和：
．
5．在
的展開式中，奇數項之和為
，偶數項之和為
，則
等于( )
A.0 B.
C.
D.
4．某企業欲實現在今后10年內年產值翻一番的目標，那么該企業年產值的年平均增長率最低應 ( )
A.低于5% B.在5%-6%之間
C.在6%-8%之間 D.在8%以上
3．若二項式
()的展開式中含有常數項，則
的最小值為( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2．多項式
()的展開式中，
的系數為
1．
展開式中的系數為 ，各項系數之和為 ．
例1． 設
，
當
時，求的值
解：令
得：
，
∴
，
點評：對于
，令
即
可得各項系數的和
的值；令
即，可得奇數項系數和與偶數項和的關系
例2．求證：
．
證(法一)倒序相加：設
①
又∵
②
∵
，∴
，
由①+②得：
，
∴
，即．
(法二)：左邊各組合數的通項為
，
∴ 
．
例3．已知：
的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大
．
(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中系數最大的項
解：令，則展開式中各項系數和為
，
又展開式中二項式系數和為
，
∴
，
．
(1)∵，展開式共
項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，
∴
，
，
(2)設展開式中第
項系數最大，則
，
∴
，∴
，
即展開式中第
項系數最大，
．
例4．已知
，
求證：當為偶數時，
能被
整除
分析：由二項式定理的逆用化簡
，再把變形，化為含有因數的多項式
∵
，
∴
，∵為偶數，∴設
()，
∴
(
) ，
當=
時，
顯然能被整除，
當時，()式能被整除，
所以，當為偶數時，能被整除
5．二項式系數的性質：
展開式的二項式系數是
，
，，…，．可以看成以
為自變量的函數
，定義域是
，例當時，其圖象是個孤立的點(如圖)
(1)對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(∵
)．
直線
是圖象的對稱軸．
(2)增減性與最大值：當是偶數時，中間一項
取得最大值；當是奇數時，中間兩項
，取得最大值．
(3)各二項式系數和：
∵
，
令，則
3．
求常數項、有理項和系數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性
4二項式系數表(楊輝三角)
展開式的二項式系數，當依次取
…時，二項式系數表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和
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