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本專題是高中數學的重點內容之一 ，也是高考考查的熱點。高考中著重考查運算能力、邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。其中，選擇題、填空題突出“小、巧、活”的特點，而解答題多以中、高檔題目出現。透析近年高考試題，本專題的命題熱點為：等差，等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式的應用；利用數列的前n項和與通項的關系解題；數列的求和問題；遞推數列問題；數列應用問題；數列與函數、三角、不等式的綜合問題；數列與平面解析幾何的綜合問題，等等。

例1．數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列。（1）求的值；（2）求的通項公式。

例2．若都是各項為正的數列，對任意的正整數都有成等差數列，成等比數列。

（1）試問是否是等差數列？為什么？

（2）求證：對任意的正整數成立；

（3）如果，求。

變式：

數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1－a_n，(n∈N^*)。

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設S_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜，求S_n；

(3)設b_n=(n∈N^*)，T_n=b₁+b₂+……+b_n(n∈N^*)，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

例3．已知數列的前n項和為S_n，滿足條件，其中b>0且b1。

(1)求數列的通項a_n；(2)若對，試求b的取值范圍。

例4. 已知數列的前項和為，若，

（1）證明數列為等差數列，并求其通項公式；

（2）令，①當為何正整數值時，；②若對一切正整數，總有，求的取值范圍。

變式：

1．在等差數列中，，前項和滿足條件，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）記，求數列的前項和。

2．設是數列（）的前項和，，且，，．

（I）證明：數列（）是常數數列；

（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列（）中的所有項都是數列中的項，并指出是數列中的第幾項．

例5. 如圖，將圓分成個區域，用3種不同顏色給每一個區域染色，要求相鄰區域顏色互異，把不同的染色方法種數記為。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）與的關系式；

（Ⅲ）數列的通項公式，并證明。

例6. 在數列中，，，．

（1）證明數列是等比數列；

（2）求數列的前項和；

（3）證明不等式，對任意皆成立．

變式：

數列記

（1）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；（2）求數列的通項公式及數列的前n項和

例7. 若函數，數列 成等差數列.

(1)求數列的通項；

(2)若，令，求數列前項和；

(3)在(2)的條件下對任意，都有，求實數的取值范圍。

例8． 設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式：3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t  (t＞0，n=2，3，4…)

(1)求證：數列{a_n}是等比數列；

(2)設數列{a_n}的公比為f(t)，作數列{b_n}，使b₁=1，b_n=f()(n=2，3，4…)，求數列{b_n}的通項b_n；

(3)求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

變式：

已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上．

（1） 求數列的通項公式；

（2） 設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m.

題型五、數列與函數、不等式綜合問題

例9．已知函數f(x)=

（1）求f(x)的反函數f^－1 (x)的表達式；

（2）數列中，a₁ =1；a_n =f^－1 (a_n－1)  ( )，如果b_n =(nÎN)，求數列的通項公式及前n項和S_n；

（3）如果g(n)=2S_n－17n，求函數g(x) (xÎR)在區間[t，t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表達式。

例10. 函數的反函數為，數列滿足：，數列滿足：，

（1）求數列和的通項公式；

（2）記，若對任意的，恒有成立，求實數的取值范圍.

變式：

已知，，數列滿足，

， ．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列； 

（Ⅱ）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

題型六、數列應用問題

例11. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數的林木，但由于自然環境和人為因素的影響，每年都有相同畝數的土地沙化，具體情況為下表所示：

1998年

1999年

2000年

新植畝數

1000

1400

1800

沙地畝數

25200

24000

22400

而一旦植完，則不會被沙化。問：（1）每年沙化的畝數為多少？（2）到那一年可綠化完全部荒沙地？

變式：

某公司按現有能力，每月收入為70萬元，公司分析部門測算，若不進行改革，入世后因競爭加劇收入將逐月減少．分析測算得入世第一個月收入將減少3萬元，以后逐月多減少2萬元，如果進行改革，即投入技術改造300萬元，且入世后每月再投入1萬元進行員工培訓，則測算得自入世后第一個月起累計收入T_n與時間n（以月為單位）的關系為T_n=an+b，且入世第一個月時收入將為90萬元，第二個月時累計收入為170萬元，問入世后經過幾個月，該公司改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入．

題型七、數列與平面解析幾何綜合問題

例12. 設是兩個數列，點為直角坐標平面上的點.

（1）對若三點共線，求數列的通項公式；

（2）若數列{}滿足：，其中是第三項為8，公比為4的等比數列.求證：點列(1，在同一條直線上，并求此直線的方程.

例13. 已知曲線y=，過曲線上一點（異于原點）作切線。

（1）求證：直線與曲線y=交于另一點；

（2）在（1）的結論中，求出的遞推關系。若，求數列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，記，問是否存在自然數m，M，使得不等式m<R_n<M對一切恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請說明理由。

變式：

由坐標原點O向曲線引切線，切于O以外的點P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂），如此進行下去，得到點列{ P_n}.

求：（1）的關系式；（2）數列的通項公式

反饋練習：

1．已知數列的前n項和，那么這個數列中的奇數項依照原來的順序構成的數列的通項公式是（   ）

       A．                        B．

       C．                        D．

2．數列{a_n}的前n項和S_n=3n-2n² (n∈N)，當n>2時有（  ）

    A．S_n>na₁>na_n    B．S_n< na_n<na₁   C．na₁<S_n<na_n   D．na_n<S_n<na₁

3．已知數列中，，那么等于（  ）

       A、－495             B、765                 C、1080        D、3105

4．等差數列的通項，則由所確定的數列的前n項和是（    ）

A．           B．          C．          D．

5．等差數列，=－5，它的前11項的算術平均值為5。若從中抽去一項，余下10項的算術平均值為4，則抽去的是（   ）

    A．    B．    C．    D．

6．已知數列{a_n}滿足a_n+1=a_n?a_n?1（n≥2），a₁=a，a₂=b，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則下列結論正確的是（   ）.

（A）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=2b?a        （B）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=2b?a

（C）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=b?a         （D）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=b?a

7．設數列滿足且  等于（   ）

       A、100a      B、100a²          C、101a¹⁰⁰    D、100a¹⁰⁰

8.已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是（　　）

A．2             B．3            C．4         D．5

9．若兩個等差數列的前n項和(nÎN)，則的值等于      

10．已知等差數列的第2項是8，前10項和是185，從數列中依次取出第2項，第4項，第8項，……，第項，依次排列一個新數列，則數列的前n項和=      

11．對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是     

12．數列中，      

13．已知函數f(x)= (x<－2)

(1)求f(x)的反函數f^-－1(x)；

(2)設a₁=1， =－f^－-1(a_n)  (n∈N^*)，求a_n；

(3)設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數m，使得對任意n∈N^*，有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

14．已知數列，滿足，，且（）

（1）令，求數列的通項公式；

（2）求數列的通項公式及前項和公式．

15. 若數列為等差數列，每相鄰兩項，分別為方程的兩根.

(1)    求的通項公式；

(2)    求；

(3)    對于以上的數列｛a_n｝和｛c_n｝，整數981是否為數列｛｝中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由.

16. 已知函數且任意的、都有

 （1）若數列

 （2）求的值.