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1．含有3個元素的集合既可表示為，又可表示為，則的值是（    ）

A．1            B．―1            C．          D．      

2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項和，，則的值為（     ） 學科

A．　          B．　          C．　           D．64 學科網(wǎng)

3．“”是“直線與圓相切”的（    ）

 A．充分而不必要條件          B．必要而不充分條件

 C．充要條件                  D．既不充分也不必要條件

4．若函數(shù)，則是 （    ）

  A．最小正周期為的偶函數(shù)        B．最小正周期為的奇函數(shù)

  C．最小正周期為的偶函數(shù)       D．最小正周期為的奇函數(shù)

5．劉、李兩家夫婦各帶1個小孩一起到公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩位小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有（   ）  A．12              B．24            C．36             D．48

6.平面于點C，則動點C的軌跡是（    ）

A．一條直線                  B．圓                   C．橢圓                 D．雙曲線的一支學

7．設(shè)F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，若已知，且，則橢圓的離心率為（    ）

    A．                   B．                  C．           D．

8．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(    ) 

A．（0，2）        B．（1，3）       C．（―4，―2）    D．（―3，―1）

9．某倉庫中有甲、乙、丙三種不同規(guī)格的電腦，它們的數(shù)量之比依次為2∶3∶5.現(xiàn)用分層抽樣

的方法從中抽出一個容量為的樣本，若該樣本中有甲種規(guī)格的電腦24臺，則此樣本的容量的

值為____________．

10．函數(shù)的反函數(shù)所經(jīng)過的一個定點的坐標為_________．

11．___________．

12. 已知矩形中，沿將矩形折成一個二面角則四面體的外接球的表面積為_____________．

13．已知點、是不等式組表示的平面區(qū)內(nèi)的點，為坐標原點，則的取值范圍是_______________．

14．一次展覽會上展出一套由寶石串聯(lián)制成的工藝品，如圖所示．若按照這種規(guī)律依次增加一定數(shù)量的寶石, 則第5件工藝品所用的寶石數(shù)為_______顆；第件工藝品所用的寶石數(shù)為__________________顆 (結(jié)果用表示)．

第1件       第2件           第3件                第4件

15．已知點是邊長為的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為、、，則、、所滿足的關(guān)系式為_________________，的最小值是___________．

16．（本題滿分12分）  已知，且，設(shè)，的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離不小于．

（1）求ω的取值范圍；

（2）在△ABC中，分別為角的對邊，，當ω最大時，，求△ABC的面積．

17．（本題滿分12分）  現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒子里盛有4個白球和4個紅球，乙盒子里盛有3個白球和若干個紅球，若從乙盒子里任取兩個球取得同色球的概率為．

（1）求乙盒子中紅球的個數(shù)；

（2）從甲、乙盒子里各任取兩個球進行交換，若交換后乙盒子里的白球數(shù)和紅球數(shù)相等，就說這次交換是成功的，試求進行一次這樣的交換成功的概率是多少？

18．（本題滿分12分） 如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分別是、的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角的大小．

19．（本題滿分13分）   設(shè)橢圓：的離心率為，點，，原點到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點為，點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

20．（本題滿分13分）  設(shè)數(shù)列的前項和為，且，其中為常數(shù)且．

（１）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（２）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（

　　　求數(shù)列的通項公式；

（３）設(shè)，，數(shù)列的前項和為，求證：當時，．

21．（本題滿分13分）  已知函數(shù)(且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)，且f(1)=7，設(shè)．

(1)當a<2時，求的極小值；

(2)若對任意都有成立，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下比較的大小．

長沙市一中高三第一次模擬考試文科數(shù)學答案

1．含有3個元素的集合既可表示為，又可表示為，則的值是（  B  ）

A．1            B．―1            C．          D．      

2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項和，，則的值為（  B   ） 學科

A．　          B．　          C．　           D．64 學科網(wǎng)

3．“”是“直線與圓相切”的（  A  ）

 A．充分而不必要條件          B．必要而不充分條件

 C．充要條件                  D．既不充分也不必要條件

4．若函數(shù)，則是 （  D  ）

  A．最小正周期為的偶函數(shù)        B．最小正周期為的奇函數(shù)

  C．最小正周期為的偶函數(shù)       D．最小正周期為的奇函數(shù)

5．劉、李兩家夫婦各帶1個小孩一起到公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩位小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有（ B  ）  A．12              B．24            C．36             D．48

6.平面于點C，則動點C的軌跡是（  A  ）

A．一條直線                  B．圓                   C．橢圓                 D．雙曲線的一支學

7．設(shè)F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，若已知，且，則橢圓的離心率為（  D  ）

    A．                   B．                  C．           D．

8．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(  A  )

A．（0，2）        B．（1，3）       C．（―4，―2）    D．（―3，―1）

9．某倉庫中有甲、乙、丙三種不同規(guī)格的電腦，它們的數(shù)量之比依次為2∶3∶5.現(xiàn)用分層抽樣

的方法從中抽出一個容量為的樣本，若該樣本中有甲種規(guī)格的電腦24臺，則此樣本的容量的

值為 ．

10．函數(shù)的反函數(shù)所經(jīng)過的一個定點的坐標為 ．

11． ．

12. 已知矩形中，沿將矩形折成一個二面角則四面體的外接球的表面積為 ．

13．已知點、是不等式組表示的平面區(qū)內(nèi)的點，為坐標原點，則的取值范圍是 ．

14．一次展覽會上展出一套由寶石串聯(lián)制成的工藝品，如圖所示．若按照這種規(guī)律依次增加一定數(shù)量的寶石, 則第5件工藝品所用的寶石數(shù)為顆；第件工藝品所用的寶石數(shù)為顆 (結(jié)果用表示)．

第1件       第2件           第3件                第4件

15．已知點是邊長為的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為、、，則、、所滿足的關(guān)系式為，的最小值是．

16．（本題滿分12分）  已知，且，設(shè)，的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離不小于．

（1）求ω的取值范圍；

（2）在△ABC中，分別為角的對邊，，當ω最大時，，求△ABC的面積．

解：（1）

=         …………………3分

依題意：，∴．…………………5分

（2）由（1）知，∴即，

又，∴  ．   …………………8分

由余弦定理得，結(jié)合，得．…………10分

∴．    …………………12分

17．（本題滿分12分）  現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒子里盛有4個白球和4個紅球，乙盒子里盛有3個白球和若干個紅球，若從乙盒子里任取兩個球取得同色球的概率為．

（1）求乙盒子中紅球的個數(shù)；

（2）從甲、乙盒子里各任取兩個球進行交換，若交換后乙盒子里的白球數(shù)和紅球數(shù)相等，就說這次交換是成功的，試求進行一次這樣的交換成功的概率是多少？

解：（1）設(shè)乙盒中有個紅球，則從乙盒子里任取兩個球共有種取法，其中取得同色球的取法有，故．  解得或（舍去），即_．…………………6分

（2）甲、乙兩盒中各任取兩球交換后乙盒中白球與紅球相等，則：①從甲盒中取出兩個白球與乙盒中取出一個白球一個紅球進行交換，②從甲盒中取出一個紅球和一個白球與乙盒中取出兩個紅球進行交換．

概率為．

答：（1）乙盒中有紅球5個，（2）進行一次成功交換的概率為．…………………12分

18．（本題滿分12分） 如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分別是、的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角的大小．

解：（1）取中點，連結(jié)、，則，

     又， ∴，四邊形是平行四邊形，

     ∴，又，，

     ∴ ………………………………4分

   （2）連結(jié)  ∵，  ∴，

     又平面平面，∴．

     而，  ∴．

     作于，則，且，為的中點．

作于，連結(jié)，則，

 于是為二面角的平面角．    …………………………8分

∵，，∴，．

在正方形中，作于，則

，

∴，∴．

故二面角的大小為．     …………………………12分

19．（本題滿分13分）   設(shè)橢圓：的離心率為，點，，原點到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點為，點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

解：（1）由得          …………2分

、由點，知直線的方程為，

于是可得直線的方程為            …………4分

由題意，得，，，

所以橢圓的方程為           ……………6分

（2）由（1）知，，

因為直線經(jīng)過點，所以，得，

得直線的方程為．        ………………8分

設(shè)的坐標為，則，……10分

又，∴，因為，所以_，于是

又點的坐標為，因此直線的方程為      ………………13分

（本題也可以求出點的坐標，再求）

20．（本題滿分13分）  設(shè)數(shù)列的前項和為，且，其中為常數(shù)且．

（１）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（２）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（

　　　求數(shù)列的通項公式；

（３）設(shè)，，數(shù)列的前項和為，求證：當時，．

解：（1）由，

    相減得：，∴，

∴數(shù)列是等比數(shù)列．       ……………………4 分

  （2），∴，

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列；∴，

∴．    ……………………8分

（3）時，，∴，

∴，                 ①

                  ②

①②得，

,             …………………………11分

又因為,單調(diào)遞增,

故當時, .     …………………………13分

21．（本題滿分13分）  已知函數(shù)(且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)，且f(1)=7，設(shè)．

(1)當a<2時，求的極小值；

(2)若對任意都有成立，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下比較的大小．

解：(1)，

∴2b=4   c=0    ∴，

∴，

又f(1)=7       ，  ∴d=4    ∴．  ……………………………………2分

∵，∴．

令，得， ∵， ∴．

故由，由，

∴F(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故F(x)的極小值為F(0)=4 ………………………………………………5分

(2)F(x)≥0在x∈[0，+∞)時恒成立，即，

①當即時，由(1)知F(x)_min=F(0)=4>0符合題意．………………………7分

②若，即時，由(1)知，

∴當時，F(xiàn)(x)_min=

即，∴，∴，

綜上所述  a≤5．       ……………………………………………10分

(3)

∵a≤5    ∴，   6－a≥1，故，

∴(等號在a=5時成立)．  …………………………………13分