泉州七中09屆高三年第一學期第三次月考數學試卷（理科）
考試時間：120分鐘；滿分：150分
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分。
1、集合
，
，則
等于（
）
A、
B、
C、
D、
2、已知△ABC的三邊a，b，c滿足
，則△ABC是（ ）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、以上都不對
3、在等腰直角三角形
中，在斜邊
上任取一點
，則
小于
的概率（ ）
A、
B、
C、
D、
4、以下判斷正確的是（ ）
A、命題“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”不是全稱命題；
B、命題“
”的否定是“
”；
C、“
”是“
”的充要條件；
D、“
是無理數”是“
是無理數”的充要條件。
5、函數
的定義域為一切實數，則實數m的取值范圍是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、函數
的零點所在的大致區間是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、右圖是一個算法的程序框圖，該算法輸出的結果是（ ）
A、 B、
C、
D、
8、過點
的直線L將圓
分成兩段弧，
當其中的劣弧最短時，直線L的方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
9、已知O，A，M，B為平面上四點，且
，則（ ）
A、點M在線段AB上 B、點B在線段AM上
C、點A在線段BM上 D、O、A、M、B四點一定共線
10、橢圓
的左、右焦點分別為
，
弦AB過，若△AB的內切圓周長為
，
A、B兩點的坐標分別為
和
，則
的值為（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分25分。把答案填寫在答題卡上相應的位置。只須寫出最后結果，不必寫出解題過程。
11、
的展開式中
項的系數是
。
12、給出下列命題：
①已知直線m、
，平面
、
，若
，
，∥，則
；
②
，是
、
的夾角為銳角的充要條件；
③若
在
上滿足
，則是以4為周期的周期函數；
④
的圖象的一個對稱中心是
。
以上命題正確的是 （注：把你認為正確的命題的序號都填上）。
13、現有3人從裝有編號為1，2，3，4，5的五個小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回）,則有兩人所摸的小球編號是連號,且三人編號不連號的摸法種數為 。
14、實數x，y滿足不等式組
，則
的最大值是 。
15、正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面，則正四面體上的所有
點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是 。
三、解答題：本大題共7小題，滿分75分。解答應寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟。
16、已知銳角△ABC三個內角為A、B、C，向量
與
向量
是共線向量。
（1）求角A；（2）求函數
的最大值。
17、如圖，在組合體中，
是一個長方體，
是一個四棱錐。
，
，點
平面
且
。
（1）證明：PD⊥平面PBC；
（2）求
與平面
所成的角的正切值；
（3）若
，當為何值時，PC∥平面
。
18、已知函數
的圖象經過坐標原點，且
，數列
的前n項和
為
。
（1）求數列
的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求數列的前n項和；
（3）若正數數列
滿足
，求數列
中的最大值。
19、已知點
，點P在
軸上，點Q在
軸的正半軸上，點M在直線PQ上，
且滿足
，
。
（1）當點P在軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點
作直線交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的
對稱點，求證：
；
（3）在（2）中，是否存在垂直于軸的直線
被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？
若存在求出的方程；若不存在，請說明理由。
20、已知函數
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，
切點分別為、
。
（1）設
，試求函數
的表達式；
（2）是否存在
，使得、與
三點共線。若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
（3）在（1）的條件下，若對任意的正整數
，在區間
內總存在
個實數
，使得不等式
成立，求
的最大值。
請考生在第21、22、23題中任選兩題做答，如果多做，則按所做的前兩題記分。
21、選修4－2：【矩陣與變換】
在平面直角坐標系
中，設橢圓
在矩陣
對應的變換作用下得到曲線F，
求F的方程。
22、選修4－4：【坐標系與參數方程】
已知直線L經過點
,傾斜角
，
（1）寫出直線L的參數方程
（2）設L與圓
相交于兩點A，B，求點到A，B兩點的距離之積。
23、選修4－5：【不等式選講】
若實數
滿足
（a為常數），求
的最小值。
09屆高三年第一學期第三次月考數學答案（理科）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
D
B
C
D
B
D
二、填空題：（每題5分，共25分）
11、
； 12、
； 13、
；14、
；15、
；
三、解答題：（共75分）
16、（滿分12分）
已知銳角△ABC三個內角為A、B、C，向量
與向量是共線向量。
（1）求角A； （2）求函數的最大值。
解：（１）∵
共線，
∴
…（2分）∴
…………………………………………………（4分）
而
為銳角，所以
……………………（6分）（２）
…………………（9分）
∵
∴
時，
………………………（12分）
【接19題】
∵錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。,
,
∴錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
…………………………12分
∴
,
令
，得
此時，
。
∴當
，即
時，
（定值）.
∴當時，滿足條件的直線存在，其方程為
；
當
時，滿足條件的直線不存在…………… （12分）
【以上接19題】
17、（滿分12分）
如圖，在組合體中，是一個長方體， 是一個四棱錐。，，點平面且。
（1）證明：PD⊥平面PBC；
（2）求與平面所成的角的正切值；
（3）若，當為何值時，PC∥平面。
解：（1）如圖建立空間直角坐標系，設棱長，
則有
，
，
，
…………（2分）
于是
，
，
，所以
，
�！�3分）
∴
垂直于平面
內的兩條
相交直線
和
，由線面垂直
的判定定理，可得
PD⊥平面PBC。……（4分）
（2）
，所以
，
而平面的一個法向量為
………… （5分）
∴
…………………… （6分）
∴與平面所成的角的正弦值為
�！� （7分）
∴與平面所成的角的正切值為
�！� （8分）
（3）
，所以
，
。
設平面
的法向量為
，
則有
，令
，可得平面的一個
法向量為
………………………………… （10分）
若要使得PC∥平面，則要
，
即
，解得
�！� （11分）
所以當時，PC∥平面�！� （12分）
18、（滿分12分）
已知函數的圖象經過坐標原點，且，數列的前n項和為。
（1）求數列的通項公式；
（2）數列滿足，求數列的前n項和；
（3）若正數數列滿足，
求數列中的最大值
解：（1）由
得
∵ 
的圖像過原點，∴錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。,∴錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
∴
……………………………………………（1分）
∴
又
∴數列
的通項公式
（
）………（3分）
（2）由
得：
…………………………………（5分）
∴
…………①
∴
…………②……（6分）
②－①得：
∴ 
………………（7分）
（3）由
知：
令
，則
………（9分）
∴在區間
上，
，在
上，
，
∴在區間上，
為單調遞減區間。………（10分）
∴
時，
是遞減數列。
又
，
，∵
，∴
∴數列中的最大項為
……… ……（12分）
19、（滿分12分）
已知點，點P在軸上，點Q在軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，。
（1）當點P在軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點作直線交軌跡C于A、B兩點，
E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：；
（3）在（2）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，
請說明理由。
解：（1）設
,
∵
，
∴
且
， ……… （2分）
∴
�！� （3分）
∴
……………………………………… （4分）
∴動點M的軌跡C是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點
的拋物線（除去原點）�！� （5分）
（2）依題意，設直線的方程為
，
，則A，B兩點的坐標滿足方程組：
消去并整理，得
，
∴
。 ………………………… （7分）
設直線AE和BE的斜率分別為
，則：
。…………………………… （9分）
∴
，∴
,
∵
，
，∴
… （9分）
（3）假設存在滿足條件的直線，其方程為
，AD的中點為
， 與AD為直徑的圓相交于點F、G，FG的中點為H，則
，點的坐標為
， ****注意*** 【接16題】
20、（滿分13分）
已知函數和點，過點作曲線
的兩條切線、，切點分別為、。
（1）設，試求函數的表達式；
（2）是否存在，使得、與三點共線。若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
（3）在（1）的條件下，若對任意的正整數，在區間
內總存在個實數，使得不等式
成立，求的最大值。
解：（1）設、兩點的橫坐標分別為
、
，
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。，
∴切線的方程為：
，
又∵切線過點
，∴有
，
即
，①…………… （2分）
同理，由切線也過點，得
，②
由①②，可得
是方程
的兩根，
∴
（*）……………………… （4分）
把（ * ）式代入,得
,
因此，函數的表達式為
… （5分）（2）當點、與共線時，
，
∴
＝
，即
＝
，
化簡，得
，
∵
，∴
③………………………… （6分）
把（*）式代入③，解得
。
∴存在，使得點、與三點共線，且 �！�8分）
解法
：易知
在區間
上為增函數，
∴
，
，
則
。依題意，
不等式
對一切的正整數恒成立。… （10分）
，
即
對一切的正整數恒成立。
∵
，∴
，
．由于為正整數，∴
…………… （12分）
又當
時，存在
，
，
對所有的滿足條件．因此，的最大值為
。……… （13分）
21、（滿分14分）
解：設
是橢圓上任意一點，點在矩陣對應的
變換下變為點
則有：
，即
，所以
又因為點在橢圓上，故
，從而
所以，曲線
的方程是
。
解：（1）直線的參數方程為
，即
（2）把直線
代入
，
得
。
∵
，則點到
兩點的距離之積為
。
解：∵
即
，∴
。
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