鹽城市2008/2009學年度高三第三次調研考試
數學學科試題及答案
本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準考證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上．
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整，筆跡清楚．
3．請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效．
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．
5．作選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．
參考公式：
樣本數據
，
，
，
的標準差 錐體體積公式
其中
為樣本平均數 其中
為底面面積、
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
，
其中為底面面積，為高 其中
為球的半徑
第I卷（填空題）
一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1．如果復數
的模為
，則
6 .
2．已知集合
，則
.
3．拋物線
的焦點坐標為 
.
4．如圖所示，一個水平放置的“靶子”共由10個同心圓構成，其半徑分別為1┩、2┩、3┩、…、10┩，最內的小圓稱為10環區，然后從內向外的圓環依次為9環區、8環區、…、1環區，現隨機地向“靶子”上撒一粒豆子，則豆子落在8環區的概率為 
.
5．某幾何體的底部為圓柱，頂部為圓錐，其主視圖如圖所示，若
，則該幾何體的體積為 
.
6．如圖所示的程序框圖，如果輸入三個實數
，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入的內容是 
.
7．將函數
的圖象向左平移
個單位后，所得的函數恰好是偶函數，則
的值為 .
8．已知函數
，數列
滿足
，且數列是遞增數列，則實數
的取值范圍是 （2，3） .
9．圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第
個圖形包含
個“福娃迎迎”，則
= 
.（答案用數字或的解析式表示）
10．已知遞增的等比數列
滿足
，且
的等差中項，若
，則數列
的前
項和
= 
.
11．在邊長為1的菱形
中，
，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點H ，則
= 
.
12．若關于
的方程
的兩個實數根
滿足
,則
的取值范圍是 
.
13．若橢圓
上任一點到其上頂點的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是 
.
14．已知定義在R上的函數
滿足
，當
時，
. 若對任意的
，不等式組
均成立，則實數k的取值范圍是 
.
第II卷（解答題）
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15．(本小題滿分14分)
如圖所示，角
為鈍角，且
，點
分別在角的兩邊上．
（Ⅰ）若
，求
的長；
（Ⅱ）設
，且
，求
的值．
解：（Ⅰ）因為角為鈍角，且
，所以
…………………………2分
在
中，由
，
得
………………………………………………5分
解得
或
(舍)，即
的長為2………………………………………7分
（Ⅱ）由
，得
…………………………………………………9分
又
，
………………………………11分
所以
……………………………………………………………………14分
16．(本小題滿分14分)
某高中地處縣城，學校規定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數很多.該校學生會先后5次對走讀生的午休情況作了統計，得到如下資料：
①
若把家到學校的距離分為五個區間：
，則調查數據表明午休的走讀生分布在各個區間內的頻率相對穩定，得到了如右圖所示的頻率分布直方圖；
② 走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系. 下表是根據5次調查數據得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數的統計表.
下午開始上課時間
1：30
1：40
1：50
2：00
2：10
平均每天午休人數
250
350
500
650
750
（Ⅰ）若隨機地調查一位午休的走讀生，其家到學校的路程(單位：里)在
的概率是多少？
（Ⅱ）如果把下午開始上課時間1：30作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數作為縱坐標y，試根據表中的5列數據求平均每天午休人數
與上課時間x之間的線性回歸方程
；
（Ⅲ）預測當下午上課時間推遲到2：20時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？
解答：（Ⅰ）
…………………………………………………4分
（Ⅱ）根據題意，可得如下表格：
x
0
1
2
3
4
y
250
350
500
650
750
則
所以
………8分
再由
，得
，故所求線性回歸方程為
……………………10分
（Ⅲ）下午上課時間推遲到2：20時，
，
，
此時，家距學校的路程在6里路以上的走讀生中約有133人（134人）……………………14分
17．(本小題滿分14分)如圖甲，在直角梯形
中，
，
，
，是
的中點. 現沿
把平面
折起，使得
（如圖乙所示），
、
分別為
、
邊的中點.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）在
上找一點
，使得
平面.
解答：（Ⅰ）證：因為PA⊥AD,PA⊥AB,
，所以平面……………4分
（Ⅱ）證：因為
,A是PB的中點，所以ABCD是矩形，又E為BC邊的中點，所以AE⊥ED。又由平面,得
,且
,所以
平面
，而
平面，故平面
平面…………………………………………………………9分
（Ⅲ）過點作
∥交
于
，再過作
∥
交于,連結
。
由∥,平面
,得∥平面；
由∥，
平面，得∥平面，
又
，所以平面
∥平面……………………………………………12分
再分別取、的中點
、
，連結
、
，易知是
的中點，是
的中點，從而當點滿足
時，有平面。………………………………………14分
18．(本小題滿分16分)
已知圓
，相互垂直的兩條直線
、
都過點
.
（Ⅰ）若、都和圓
相切，求直線、的方程；
（Ⅱ）當
時，若圓心為
的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；
（Ⅲ）當
時，求、被圓所截得弦長之和的最大值.
解答：（Ⅰ）顯然，
、
的斜率都是存在的，設
，則
……………………………………………………………………………………………1分
則由題意，得
，
………………………………………………3分
解得
且
，即
且
……………………………5分
∴、的方程分別為
與
或
與
……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）設圓的半徑為
，易知圓心到點
的距離為
，
∴
………………………………………………………9分
解得
且
，∴圓的方程為
………………………11分
（Ⅲ）當
時，設圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點分別為
，弦長分別為
，因為四邊形
是矩形，所以
,即
，化簡得
…………………………………14分
從而
，
即、被圓所截得弦長之和的最大值為
…………………………………16分
19．(本小題滿分16分)
設函數
.
（Ⅰ）求證：當
時，
；
（Ⅱ）存在，使得
成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）若
對恒成立，求
的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解答：(Ⅰ)因為當
時，
，
所以
在
上單調遞減，………………………………………………………3分
又
，所以當時，
……………………………………………4分
(Ⅱ) 因為
，所以
，
由(Ⅰ)知，當時，
，所以
………………………6分
所以
在上單調遞減，則當時，
………………………8分
由題意知，在上有解，所以
，從而
………………………10分
（Ⅲ）由
得
對恒成立，
①當
時，不等式顯然成立………………………………………………………11分
②當
時，因為
，所以取
，則有
，從而此時不等式不恒成立…………………………………………………………………………12分
③當
時，由(Ⅱ)可知
在上單調遞減，而
，
∴
， ∴
成立………………………………………14分
④當
時，當時，
，則
，∴
不成立，
綜上所述，當
或
時，有對恒成立。
………………………………………………………………………………………………16分
20．(本小題滿分16分)
數列
滿足
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）當
為某等差數列的第1項，第
項，第+7項，且
，求
與；
（Ⅲ）求證：數列
中能抽取出一個子數列成等比數列
的充要條件是為有理數.
解答：（Ⅰ）當
時，
，∴
……2分
當
時，
，∴
…………………………………………4分
∴
…………………………………………5分
（Ⅱ）當
時，
，則該等差數列的公差為
，∴
，
即
①
又，所以
，即
②
由①知，為整數或分母為7的既約分數；由②知，為整數或分母為2的既約分數，從而必為整數………………………………………………………………………7分
由②知，
，結合①得，
，所以
只能取7，故
，………8分
又由②得，
，設
則
，
因為
所以當
時，
，又
，
從而
，故
在
上單調遞增。
則由
，知
在上無解…………………………10分
又
，
，
，
所以
或
，
綜上所述，當，且或時滿足條件……………………………………………11分
（Ⅲ）①必要性。若中存在一個子數列
成等比數列，設
為其中的連續三項。因為
，所以
，則
……………………………………………………12分
⑴當
時，
，即
，則
，矛盾；
⑵當
時，
，則
，所以必要性成立………………13分
②充分性。若為有理數，因為，所以可取足夠大的正整數
，使
，因為
也為有理數，故可設
（其中
為互質正整數）。
現構造等比數列，使得首項
，公比
，則
…………………………………………14分
因為
，
所以
，
從而
，
設
，則為正整數，
則
，故
必為中的項，即等比數列是的子數列，所以充分性也成立。
綜合①②知，原命題成立。……………………………………………………………………16分
數學附加題
21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
A.（選修4―1：幾何證明選講）
如圖，四邊形ABCD內接于圓
，弧
弧，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：
．
證：連結
,因為
切圓于，所以∠EAB＝∠ACB。
因為弧弧，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD，于是∠EAB＝∠ACD………………5分
又四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABE＝∠D，所以△ABE∽CDA.
于是
,即
，所以
…………………………10分
B．（選修4―2：矩陣與變換）
已知矩陣
,A的一個特征值
，其對應的特征向量是
.
（Ⅰ）求矩陣
；
（Ⅱ）若向量
，計算
的值.
解：（Ⅰ）
……………………………………………………………3分
（Ⅱ）矩陣A的特征多項式為
，
解得
……………………………………………………………6分
當
時，得
；當
時，得
，
由
，得
，得
…………………………………8分
∴
…………………………………………………10分
C．（選修4―4：坐標系與參數方程）
已知某圓的極坐標方程為ρ2 －4ρcos(θ－)＋6=0．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點
在該圓上，求
的最大值和最小值．
解答：（Ⅰ）
；
（
為參數）……………5分
（Ⅱ）因為
，所以其最大值為6，最小值為2……………10分
D.（選修4―5：不等式選講）
設均為正實數．
（Ⅰ）若
，求
的最小值；
（Ⅱ）求證：
.
解答：（Ⅰ）解：因為均為正實數，由柯西不等式得
，當且僅當
時等號成立，∴
的最小值為
………………………………………………5分
（Ⅱ）∵均為正實數，∴
，當
時等號成立；
則
，當
時等號成立；
，當
時等號成立；
三個不等式相加得，
，當且僅當
時等號成立。
……………………………………………………………………10分
[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
22．（本小題滿分10分）
如圖所示，已知曲線
，曲線 
與
關于點
對稱，且曲線與交于點O、A，直線
與曲線、、
軸分別交于點
、
、，連結.
（Ⅰ）求曲邊三角形
（陰影部分）的面積
;
（Ⅱ）求曲邊三角形
（陰影部分）的面積
.
解答：（Ⅰ）易得曲線
的方程為
…………………………………………2分
由
，得點
，又由已知得
………………4分
故
………………………………………6分
（Ⅱ）
………………………10分
23． (本小題滿分10分)
已知為等差數列，且
，公差
.
（Ⅰ）試證：
；
；
；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的幾個等式，試歸納出更一般的結論，并用數學歸納法證明.
解答：（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）結論：
………………………5分
證：①當
時，等式成立，
②假設當
時，
成立，
那么當
時，因為
，所以
，
所以，當時，結論也成立。
綜合①②知，對
都成立…………10分