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①函數y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.

④把函數

⑤函數

其中真命題的序號是       ① ④    （（寫出所有真命題的編號））

解答：①，正確；②錯誤；③，和在第一象限無交點，錯誤；④正確；⑤錯誤．故選①④．

【點評】  本題通過五個小題全面考查三角函數的有關概念、圖象、性質的基礎知識. 三角函數的概念，在今年的高考中，主要是以選擇、填空的形式出現，每套試卷都有不同程度的考查.預計在2008年高考中，三角函數的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點之一.

【例2】（2007年安徽）函數的圖象為C：

①     圖象關于直線對稱;

②     ②函數在區間內是增函數;

③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象.

   以上三個論斷中正確論斷的個數為

  （A）0                           （B）1                        （C）2                 （D）3

解答 C  ①圖象關于直線對稱，當k=1時，圖象C關于對稱；①正確；②x∈時，∈(－，)，∴ 函數在區間內是增函數；②正確；③由的圖象向右平移個單位長度可以得到，得不到圖象，③錯誤；∴ 正確的結論有2個，選C.

【點評】  本題主要考查了三角函數的圖象和性質及三角函數圖象的平移變換.

【例3】  （2007年安徽）已知為的最小正周期，

，且a?b．

求的值．

解答：因為為的最小正周期，故．

因，又．故．

由于，所以

．

【點評】 本小題主要考查周期函數、平面向量數量積與三角函數基本關系式，考查運算能力和推理能力．屬于三角函數求值問題.

     本類問題一般有三種形式：①給式求值，②給值求值，③給值求角.其一般解法是：將角化為特殊角或將三角函數化為同角、同名函數進行合并與化簡，最后求出三角函數的值來.

【例4】  （2007年天津）已知函數．

（Ⅰ）求函數的最小正周期；

（Ⅱ）求函數在區間上的最小值和最大值．

解答：（Ⅰ）解：．

因此，函數的最小正周期為．

（Ⅱ）解法一：因為在區間上為增函數，在區間上為減函數，又，，，

故函數在區間上的最大值為，最小值為．

解法二：作函數在長度為一個周期的區間上的圖象如下：

由圖象得函數在區間上的最大值為，最小值為．

【點評】  本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角差公式、倍角公式、函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力．

【例5】 （2007年四川）如圖，l₁、l₂、l₃是同一平面內的

三條平行直線，l₁與l₂間的距離是1， l₂與l₃間的距離是2，

正三角形ABC的三頂點分別在l₁、l₂、l₃上，則△ABC的邊長

是                     （   ）

（A）                  （B）          

（C）                  （D）

解答：D  因為l₁、l₂、l₃是同一平面內的三條平行直線，

l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是2，所以過A作

l₂的垂線，交l₂、l₃分別于點D、E，如圖，則∠BAD=

∠BAC+∠CAE，即∠BAD=60°+∠CAE,記正三角形ABC

的邊長為a,兩邊取余弦得：

，

即

整理得，故選D. 

【點評】  本題以平面幾何為平臺，主要考查運用三角函數的相關知識解決實際問題的能力.本題意圖與新課標接軌，需引起高三備考學生的密切關注.

【例6】 （2007年全國Ⅰ）設銳角三角形的內角的對邊分別為，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的取值范圍．

解：（Ⅰ）由，根據正弦定理得，所以，

由為銳角三角形得．

（Ⅱ）

．

由為銳角三角形知，

，． ，

所以．由此有，

所以，的取值范圍為．

【點評】 (1)問考查正弦定理的簡單應用，當屬容易題，（2）問主要考查了三角函數兩角和與差的正余弦公式應用，但題干中△ABC為銳角三角形是不可忽略的條件，必須在分析題目時引起足夠的重視.

【例7】 如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，

乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于

甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船

航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向

的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？

解法一：如圖，連結，由已知，

，

，

又，

是等邊三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，

．

．

因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）．

答：乙船每小時航行海里．

解法二：如圖，連結，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，

．

，

乙船的速度的大小為海里/小時．

答：乙船每小時航行海里．

【點評】 本題是解斜三角形的應用題，考查了正、余弦定理的應用，等邊三角形的判定.求解本類問題時應按照由易到難的順序來求解，最重要的是首先要對圖形進行有效分割，便于運用正、余弦定理.

    由于近年高考題突出以能力立意，加強對知識和應用性的考查，故常常在知識的交匯點處出題.用三角函數作工具解答應用性問題雖然是高考命題的一個冷點，但在備考時也需要我們去關注.

【例8】  已知函數，

（I）證明：當時，在上是增函數；

（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數       ，當時，在閉區間上是減函數；

（III）證明：

解答：(Ⅰ)證明：由題設得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0

由此可知，為R上的增函數

(Ⅱ)證法一：因為＜0是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得

＜0，即t＞

在閉區間[a,b]上成立即可

因此y=在閉區間[a,b]上連續，故在閉區[a,b]上有最大值，設其為k，t＞k時, ＜0在閉區間[a,b]上恒成立，即在閉區間[a,b]上為減函數

證法二：因為＜0是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t＞k時

＜0，

在閉區間[a,b]上成立即可

令則＜0()當且僅當

＜0()

而上式成立只需

即

成立　取與中較大者記為k，易知當t＞k時，＜0在閉區[a,b]成立，即在閉區間[a,b]上為減函數

(Ⅲ)證法一：設

易得

≥

令則易知當x＞0時, ＞0;當x＜0, ＜0

故當x=0時，取最小值，所以

≥，

于是對任意x、t，有≥，即≥

證法二：設=

≥，當且僅當

≥0

只需證明

≤0，即

≥1

以下同證法一

證法三：設=，則

易得當t＞時, ＞0; t＜時, ＜0，故當t=取最小值即

≥

以下同證法一

證法四:

設點A、B的坐標分別為，易知點B在直線y=x上，令點A到直線y=離為d，則

≥

以下同證法一

【點評】  本題是遼寧卷的壓軸題，在三角函數，導數，最值，不等式恒成立的有關問題的交匯處命題，真正體現了從整體的高度和思維價值的高度上設計試題的宗旨，注重了學科的內在聯系和知識的綜合性.

(5) 三年的“平面向量”考了哪些內容？

平面向量是高中數學的三大數學工具之一，具有代數和幾何的雙重性.向量是數形結合的典范，是高考數學綜合題命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的熱點.主要涉及的知識點有：

向量基本概念及相關的基本理論在高考試題中可以以選擇、填空的形式出現，特別是向量加減法的運算及其幾何意義在試題的難易程度上可以偏難一些。

【例1】 （2006年北京卷）若三點共線，則的值等于              .

解：， ，依題意，有（a－2）?（b－2）－4＝0

即ab－2a－2b＝0所以＝

【例2】 （2006年上海） 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是      （      ）

（A）＝    

（B）＋＝

（C）－＝

（D）＋＝0

解：由向量定義易得， （C）選項錯誤；.

二、向量的數量積與運算律

【例3】 （2006年遼寧卷）設,,,點是線段上的一個動點,,若,則實數的取值范圍是            （      ）

(A)   (B)  (C)    (D)

解答：

解得: ,因點是線段上的一個動點,所以,即滿足條件的實數的取值范圍是,故選擇答案B.

【點評】 本題考查向量的表示方法,向量的基本運算,定比分點中定比的范圍等等.

【例4】 （2006年遼寧） 已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

【解析】(I)證明1:

整理得:

設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則

即

整理得:

故線段是圓的直徑

證明2:

整理得:

……..(1)

設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即

去分母得:

點滿足上方程,展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

證明3:

整理得:

……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

【點評】本小題考查了平面向量的基本運算.

【例5】 （2005年全國卷）點在平面上作勻速直線運動，速度向量v=(4,-3)（即點的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位）．設開始時點的坐標為（-10，10），則５秒后點的坐標為

（A）（-2，4）  （B）（-30，25）  （C）（10，-5）  （D）（5，-10）

解：設5秒后點P運動到點A,則,

∴=(10,-5),選(C)

【例6】  （2006年湖北卷）設函數 f（x）=a?（b+c），其中向量a=（sinx,-cosx），b=（sinx,-3cosx），c=（-cosx,sinx），x∈R.

（Ⅰ）求函數的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）將函數的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的d.

   解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（?，?2）即為所求.

   【點評】本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

   【例7】 （2005年江蘇卷）△ABC中，則△ABC的周長為

（A）        （B）

（C）           （D）

     解答：在中，由正弦定理得：化簡得AC=

       ，化簡得AB=，

       所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++

           =3+  故選D.

【點評】 本題考查了在三角形正弦定理的的運用,以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用.

   【例8】 （2006年天津卷）如圖，在中，，，．

（1）求的值；

（2）求的值.

解答：（Ⅰ）由余弦定理

（Ⅱ）由，且得

由正弦定理　解得

　　由倍角公式

，故 

【點評】 本小題考查同角三角函數關系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查基本運算能力及分析和解決問題的能力.

五、平面向量的工具性應用

【例9】 （2007年四川卷）設、分別是橢圓的左、右焦點.

（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

解答：（Ⅰ）解法一：易知

所以，設，則

因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值

當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值

解法二：易知，所以，設，則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，

聯立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或

【點評】本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力.

  由于向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，使向量與函數、三角函數、解析幾何、立體幾何之間有著密切聯系.在高考中就著重突出了對向量與數學其他分支的結合考查.

    同學們在平時的復習中，需要能熟練地掌握向量語言與其他數學語言之間的等價轉化.