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解：（1）設橢圓方程為

則

∴橢圓方程為

（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m

又K_OM=

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可…………9分

設……………………10分

則

由

……………………………………………………10分

而

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.……………………14分

37、(廣東省汕頭市澄海區2008年第一學期期末考試)已知橢圓的離心率為，F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上，且，定點A（－4，0）.

   （1）求證：當時.，；

   （2）若當時有，求橢圓C的方程；

   （3）在（2）的條件下，當M、N兩點在橢圓C運動時，當 的值為6時, 求出直線MN的方程.

解：（1）設，

則，

當時，，

由M，N兩點在橢圓上，

若，則（舍去），   （4分）

  。（5分）

   （2）當時，不妨設 （6分）

又，， （8分）

橢圓C的方程為。  （9分）

   （3）因為=6,  （10分）

由(2)知點F(2,0), 所以|AF|=6,  即得|y_M-y_N|=  （11分）

當MN⊥x軸時, |y_M-y_N|=|MN|=, 故直線MN的斜率存在, （12分）

不妨設直線MN的方程為

聯立，得，

=, 解得k=±1。

此時，直線的MN方程為，或。  （14分）

38、(廣東省韶關市2008屆高三第一次調研考試)在平面直角坐標系中，設點(1，0)，直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點, .

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ) 記的軌跡的方程為，過點作兩條互相垂直的曲線的弦、，設、 的中點分別為．求證：直線必過定點．

解：(Ⅰ)依題意知，直線的方程為：．點是線段的中點，且⊥，∴是線段的垂直平分線．…………………….2分

∴是點到直線的距離．

∵點在線段的垂直平分線，∴．…………4分

故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．    ……….7分

(Ⅱ) 設，，直線AB的方程為…………….8分

　　　　　　　　　則

（1）―（2）得，即，……………………………………9分

代入方程，解得．

所以點Ｍ的坐標為．……………………………………10分

同理可得：的坐標為．

直線的斜率為，方程為

，整理得，………………12分

顯然，不論為何值，均滿足方程，

所以直線恒過定點．………………14

39、(廣東省深圳市2008年高三年級第一次調研考試)在平面直角坐標系中，已知點、，是平面內一動點，直線、的斜率之積為．

    （Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點作直線與軌跡交于、兩點，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍．

解：（Ⅰ）依題意，有（），化簡得

（），

這就是動點的軌跡的方程；

    （Ⅱ）依題意，可設、、，則有

，

兩式相減，得，由此得點的軌跡方程為

（）．

    設直線：（其中），則

，

故由，即，解之得的取值范圍是．

40、(廣東省四校聯合體第一次聯考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁、F₂在坐標軸上，離心率為且過點(4，-)

   （1）求雙曲線方程；

   （2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：點M在以F₁F₂為直徑的圓上；

   （3）求△F₁MF₂的面積.

解：（1） ∵離心率e=

∴設所求雙曲線方程為x²-y²=(≠0)

則由點(4，-)在雙曲線上

知=4²-(-)²=6

∴雙曲線方程為x²-y²=6

    （2）若點M(3,m)在雙曲線上

   則3²-m²=6     ∴m²=3

   由雙曲線x²-y²=6知F₁(2,0),F₂(-2,0)

   ∴

   ∴,故點M在以F₁F₂為直徑的雙曲線上.

（3）=×2C×|M|=C|M|=2×=6

41、(廣東省五校2008年高三上期末聯考)橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．

（1）求橢圓方程；

（2）若，求m的取值范圍．

解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程為：y²＋＝1　     ………………………………………4分

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　            ………………………………………………6分

設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　  ………………………………………………9分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　  ………………………………………………11分

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易驗證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）     ………………………14分

42、(貴州省貴陽六中、遵義四中2008年高三聯考)已知拋物線y²=2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.

    (1)求拋物線方程；

    (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標。

解：(1)拋物線y²=2px的準線為x= -，于是4+=5，∴p=2.

   ∴拋物線方程為y²=4x……6分

   (2)∵點A是坐標是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)，

   又∵F(1，0)，∴k_FA=；MN⊥FA，∴k_MN=-，

   則FA的方程為y=(x-1)，MN的方程為y-2= -x，

              y=(x-1)      x=

解方程組           ，得

              y-2= -x       y=

   ∴N的坐標(，)…….12分

43、(安徽省合肥市2008年高三年級第一次質檢)設向量，過定點，以方向向量的直線與經過點，以向量為方向向量的直線相交于點P，其中

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）設過的直線與C交于兩個不同點M、N，求的取值范圍

解：（1）設∵，

∴，2分

過定點，以方向向量的直線方程為：

過定點，以方向向量的直線方程為：

聯立消去得：∴求點P的軌跡C的方程為   6分

（2）當過的直線與軸垂直時，與曲線無交點，不合題意，

∴設直線的方程為：，與曲線交于

由

∴

   ∵，∴的取值范圍是

44、(河北衡水中學2008年第四次調考)已知曲線的方程為：

   （1）若曲線是橢圓，求的取值范圍；

   （2）若曲線是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角為，求此雙曲線的方程.

解：（1）當

它表示橢圓的充要條件是

   （2）方程表示雙曲線的充要條件是：

當

其一條漸近線斜率為：

此時雙曲線的方程為：

當，雙曲線焦點在y軸上：

其一條漸近線斜率為：

綜上可得雙曲線方程為：

45、(河北衡水中學2008年第四次調考)如圖所示，已知圓，定點A（3,0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E。

   （1）求曲線E的方程；

   （2）求過點Q（2,1）的弦的中點的軌跡方程。

解：（1）∵ 

     ∴為的中垂線，            …………2分

又因為，所以

所以動點的軌跡是以點和為焦點的橢圓，

且                                …………4分

所以曲線的方程為：；        …………6分

（2）設直線與橢圓交與兩點，中點為

由點差法可得：弦的斜率…………8分

由，Q（2,1）兩點可得弦的斜率為，…………10分

所以，

化簡可得中點的軌跡方程為： …………12分

46、(河北衡水中學2008年第四次調考)已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且.

   （1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；

   （2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.

解：（1）設P的坐標為，由得

（2分） ∴（（4分）

化簡得   ∴P點在雙曲線上，其方程為（6分）

   （2）設A、B點的坐標分別為、，

由  得（7分）

，（8分）

∵AB與雙曲線交于兩點，∴△>0，即

解得（9分）

∵若以AB為直徑的圓過D（0，－2），則AD⊥BD，∴，

即，（10分）

∴

∴

解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.

47、(河北省正定中學高2008屆一模)已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C₁的方程；

（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點F_2­，直線過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段PF₂垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（3）設C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C₂上，且滿足，求的取值范圍.

解：（本小題滿分12分）

解：（1），

        ∵直線l：x－y+2=0與圓x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.     ∴橢圓C₁的方程是          ……………………………….(3分)

（2）∵MP＝MF，

∴動點M到定直線l₁：x＝－1的距離等于它的定點F₂（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，                     

 ∴點M的軌跡C₂的方程為。    ………………………………………….(7分) 

（3）Q（0，0），設，

，       

由得  ，

，化簡得，

當且僅當時等號成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴當.  

         故的取值范圍是.…………………………………………….(12分)

48、已知橢圓是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若其中F為橢圓的左焦點．

   （Ⅰ）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．

解：（Ⅰ）由已知，得

………4分

   （Ⅱ）∵A、B是橢圓上縱坐標不為零的點，

∴A、F、B三點共線，且直線AB的斜率存在且不為0.

又F（－1，0），則可記AB方程為并整理得

……………………………………6分

顯然△>0，設

……………………8分

直線AB的垂直平分線方程為

令x=0，得……………………………………10分

∵“=”號，

∴，

所以所求的取值范圍是……………………………………12分

49、過雙曲線的上支上一點作雙曲線的切線交兩條漸近線分別于點.

   （1）求證：為定值；

   （2）若，求動點的軌跡方程.

解：（1）設直線AB：

由得

…………………………………….3分

…………………………………………………………………………………………….7分

（2），所以四邊形BOAM是平行四邊形

……………………………………………………………….9分

　　　①

　　②

由①②及……………………………………………..13分

…………14分

50、(山東省鄆城一中2007-2008學年第一學期期末考試)在直角坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足.

   （1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程；

   （2）過點Q(－2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點，且以為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

解：（1）設M(x，y)是所求曲線上的任意一點，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圓上的任意一點，則

    則有：得，

    軌跡C的方程為

   （1）當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點.

    所以設直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點，N點所在直線方程為

    由

    由△=

    即 …   

    即，∴四邊形OANB為平行四邊形

    假設存在矩形OANB，則，即，

    即，

    于是有    得 … 設，

即點N在直線上.

 ∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為